c语言rsa函数库,c++ rsa加密

求一段优质的C语言写的RSA算法

#include stdio.h

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int candp(int a,int b,int c) //数据处理函数，实现幂的取余运算

{

int r=1;

b=b+1;

while(b!=1)

{

r=r*a;

r=r%c;

b--;

}

printf("%d\n",r);

return r;

}

int fun(int x,int y) //公钥e与t的互素判断

{

int=t;

while(y)

{

t=x;

x=y;

y=t%y;

}

if(x==1)

return 0; //x与y互素时返回0

else

return 1; //x与y不互素时返回1

}

void main()

{

int p,q,e,d,m,n,t,c,r;

printf("请输入两个素数:p,q:");

scanf("%d%d",p,q);

n=p*q;

printf("计算得n为%3d\n",n);

t=(p-1)*(q-1); //求n的欧拉数

printf("计算得t为%3d\n",t);

printf("请输入公钥e:");

scanf("%d",e);

if(e1||et||fun(e,t))

{

printf("e不合要求，请重新输入:") //e1或et或e与t不互素时，重新输入

scanf("%d",e);

}

d=1;

while(((e*d)%t)!=1)d++; //由公钥e求出私钥d

printf("经计算d为%d\n",d);

printf("加密请输入1\n"); //加密or解密选择

printf("解密请输入2\n");

scanf("%d",r);

switch(r)

{

case1:printf("请输入明文m:"); //输入要加密的明文数字

scanf("%d",m);

c=candp(m,e,n);

printf("密文为%d\n",c);break;

case2:printf("请输入密文c:"); //输入要解密的密文数字

scanf("%d",c);

m=candp(c,d,n);

printf("明文为%d\n",m);break;

}

}

RSA算法描述

1、选取长度相等的两个大素数p和q，计算其乘积：

n=pq

然后随机选取加密密钥e，使e和（p-1）（q-1）互素。

最后用欧几里得拓展算法计算解密密钥d，以满足

ed=1(mod(p-1)(q-1))

即

d=e-1mod((p-1)(q-1))

e和n是公钥，d是私钥

2、机密公式如下：

ci=mi^e（modn）

3、解密时，取每一密文分组ci并计算：

mi=ci^d（modn）

Ci^d=（mi^e）^d=mi^(ed)=mi^[k（p–1）（q–1）+1]=mimi^[k（p–1）（q–1）]=mi*1=mi

4、消息也可以用d加密e解密

注意：此程序只是针对RSA算法的入门，无法达到安全要求的位数，谨慎使用。

求正确的RSA加密解密算法C语言的，多谢。

//rsa.h

#include stdio.h

#define MAX_NUM 63001

#define MAX_PRIME 251

//! 返回代码

#define OK 100

#define ERROR_NOEACHPRIME 101

#define ERROR_NOPUBLICKEY 102

#define ERROR_GENERROR 103

unsigned int MakePrivatedKeyd( unsigned int uiP, unsigned int uiQ );

unsigned int GetPrivateKeyd( unsigned int iWhich );

unsigned int MakePairkey( unsigned int uiP, unsigned int uiQ, unsigned int uiD );

unsigned int GetPairKey( unsigned int d, unsigned int e );

void rsa_encrypt( int n, int e, char *mw, int iLength, int *cw );

void rsa_decrypt( int n, int d, int *cw, int cLength, char *mw );

void outputkey();

//rsa.c

#include "rsa.h"

//!　保存私钥d集合

struct pKeyset

{

unsigned int set[ MAX_NUM ];

unsigned int size;

}pset;

//! 保存公、私钥对

struct pPairkey

{

unsigned int d;

unsigned int e;

unsigned int n;

}pairkey;

// 名称：isPrime

// 功能：判断两个数是否互质

//  参数：m: 数a; n: 数b

// 返回：m、n互质返回true; 否则返回false

bool isPrime( unsigned int m, unsigned int n )

{

unsigned int i=0;

bool Flag = true;

if( m2 || n2 )

return false;

unsigned int tem = ( m  n ) ? n : m;

for( i=2; i=tem  Flag; i++ )

{

bool mFlag = true;

bool nFlag = true;

if( m % i == 0 )

mFlag = false;

if( n % i == 0 )

nFlag = false;

if( !mFlag  !nFlag )

Flag = false;

}

if( Flag )

return true;

else

return false;

}

// 名称：MakePrivatedKeyd

// 功能：由素数Q、Q生成私钥d

//  参数：uiP: 素数P; uiQ: 素数Q

// 返回：私钥d

unsigned int MakePrivatedKeyd( unsigned int uiP, unsigned int uiQ )

{

unsigned int i=0;

//! 得到所有与z互质的数( 私钥d的集合 )

unsigned int z = ( uiP -1 ) * ( uiQ -1 );

pset.size = 0;

for( i=0; iz; i++ )

{

if( isPrime( i, z ) )

{

pset.set[ pset.size++ ] = i;

}

}

return pset.size;

}

// 名称：MakePairKey

// 功能：生成RSA公、私钥对

//  参数：uiP: 素数P; uiQ: 素数Q; uiD: 私钥d

// 返回：错误代码

unsigned int MakePairkey( unsigned int uiP, unsigned int uiQ, unsigned int uiD )

{

bool bFlag = true;

unsigned int i = 0, e;

unsigned int z = ( uiP-1 ) * ( uiQ-1 );

unsigned int d = pset.set[uiD];

//d=uiD;

if( !isPrime( z, d ) )

return ERROR_NOEACHPRIME;

for( i=2; iz; i++ )

{

if( (i*d)%z == 1 )

{

e = i;

bFlag = false;

}

}

if( bFlag )

return ERROR_NOPUBLICKEY;

if( (d*e)%z != 1 )

ERROR_GENERROR;

pairkey.d = d;

pairkey.e = e;

pairkey.n = uiP * uiQ;

return OK;

}

// 名称：GetPairKey

// 功能：对外提供接口，获得公、私钥对

//  参数：uiP: 素数P; uiQ: 素数Q; uiD: 私钥d

// 返回：

unsigned int GetPairKey( unsigned int d, unsigned int e )

{

d = pairkey.d;

e = pairkey.e;

return pairkey.n;

}

// 名称：GetPrivateKeyd

// 功能：对外提供接口，由用户选择ID得以私钥d

//  参数：iWhich: 用户选择私钥d的ID

// 返回：私钥d值

unsigned int GetPrivateKeyd( unsigned int iWhich )

{

if( pset.size = iWhich )

return pset.set[ iWhich ];

else

return 0;

}

// 名称：rsa_encrypt

// 功能：RSA加密运算

//  参数：n: 公钥n; e: 公钥e; mw: 加密明文; iLength: 明文长度; cw: 密文输出

// 返回：无

void rsa_encrypt( int n, int e, char *mw, int mLength, int *cw )

{

int i=0, j=0;

__int64 temInt = 0;

for( i=0; imLength; i++ )

{

temInt = mw[i];

if( e!=0 )

{

for( j=1; je; j++ )

{

temInt = ( temInt * mw[i] ) % n;

}

}

else

{

temInt = 1;

}

cw[i] = (int)temInt;

}

}

// 名称：rsa_decrypt

// 功能：RSA解密运算

//  参数：n: 私钥n; d: 私钥d; cw: 密文; cLength: 密文长度; mw: 明文输出

// 返回：无

void rsa_decrypt( int n, int d, int *cw, int cLength, char *mw )

{

int i=0, j=-1;

__int64 temInt = 0;

for( i=0; icLength/4; ++i )

{

mw[i] = 0;

temInt = cw[i];

if( d != 0 )

{

for( j=1; jd; j++ )

{

temInt = (__int64)( temInt * cw[i] ) % n;

}

}

else

{

temInt = 1;

}

mw[i] = (char)temInt;

}

}

void outputkey()

{

printf("PublicKey(e,n): (%d,%d)\n",pairkey.e,pairkey.n);

printf("PrivateKey(d,n): (%d,%d)\n",pairkey.d,pairkey.n);

}

//main.c

// 工程：RSA

// 功能：RSA加、解密文件

//  作者：jlcss|ExpNIS

#include stdio.h

#include afxwin.h

#include math.h

#include "rsa.h"

#define DECRYPT_FILE "RSA加密密文.txt"

#define ENCRYPT_FILE "RSA解密明文.txt"

//! 约束文件最大2M

#define MAX_FILE 1024*1024*2

// 名称：usage

// 功能：帮助信息

//  参数：应用程序名称

// 返回：提示信息

void Usage( const char *appname )

{

printf( "\n\tusage:rsa -k 素数P 素数Q\n" );

printf( "\tusage: rsa -e 明文文件 公钥e 公钥n\n" );

printf( "\tusage: rsa -d 密文文件 私钥d 私钥n\n" );

}

// 名称：IsNumber

// 功能：判断数字字符数组

//  参数：strNumber:字符数组

// 返回：数字字组数组返回true，否则返回false;

bool IsNumber( const char *strNumber )

{

unsigned int i;

if( !strNumber )

return false;

for ( i = 0 ; i  strlen(strNumber) ; i++ )

{

if ( strNumber[i]  '0' || strNumber[i]  '9' )

return false;

}

return true;

}

// 名称：IsPrimeNumber

// 功能：判断素数

//  参数：num: 输入整数

// 返回：素数返回true，否则返回false;

bool IsPrimeNumber( unsigned int num )

{

unsigned int i;

if( num = 1 )

return false;

unsigned int sqr = (unsigned int)sqrt((double)num);

for( i = 2; i = sqr; i++ )

{

if( num % i == 0 )

return false;

}

return true;

}

// 名称：FileIn

// 功能：读取磁盘文件到内存

//  参数：strFile:文件名称；inBuff:指向文件内容缓冲区

// 返回：实际读取内容大小(字节)

int FileIn( const char *strFile, unsigned char *inBuff )

{

int iFileLen=0, iBuffLen=0;

//! 打开密文文件

CFile file( strFile, CFile::modeRead );

iFileLen = ( int )file.GetLength();

if( iFileLenMAX_FILE )

{

printf( "文件长度不能大于 %dM,!\n", MAX_FILE/(1024*1024) );

goto out;

}

iBuffLen = iFileLen;

inBuff = new unsigned char[iBuffLen];

if( !inBuff )

goto out;

ZeroMemory( inBuff, iBuffLen );

file.Read( inBuff, iFileLen );

file.Close();

out:

return iBuffLen;

}

// 名称：FileOut

// 功能：加/解密结果输出到当前目录磁盘文件中

//  参数：strOut指向输出字符缓冲区，输出大小len，strFile为输出文件

// 返回：无

void FileOut( const void *strOut, int len, const char *strFile )

{

//! 输出到文件

CFile outfile( strFile , CFile::modeCreate | CFile::modeWrite );

outfile.Write( strOut , len );

outfile.Close();

}

// 名称：CheckParse

// 功能：校验应用程序入口参数

//  参数：argc等于main主函数argc参数，argv指向main主函数argv参数

// 返回：若参数合法返回true，否则返回false

//  备注：简单的入口参数校验

bool CheckParse( int argc, char** argv )

{

bool bRes = false;

if( argc != 4  argc != 5 )

goto out;

if( argc == 4  argv[1][1] == 'k' )

{

//! 生成公、私钥对

if( !IsNumber( argv[2] ) || 

!IsNumber( argv[3] ) ||

atoi( argv[2] )  MAX_PRIME ||

atoi( argv[3] )  MAX_PRIME )

goto out;

}

else if( (argc == 5)  (argv[1][1] == 'e' || argv[1][1] == 'd') )

{

//! 加密、解密操作

if( !IsNumber( argv[3] ) ||

!IsNumber( argv[4] ) ||

atoi( argv[3] )  MAX_NUM ||

atoi( argv[4] )  MAX_NUM )

goto out;

}

else

Usage(*argv);

bRes = true;

out:

return bRes;

}

// 名称：kOption1

// 功能：程序k选项操作：由素数P、Q生成私钥d集合

//  参数：uiP: 程序入口参数P; uiQ: 程序入口参数Q

// 返回：执行正确返回生成私钥数目，否则返回0

unsigned int kOption1( unsigned int uiP, unsigned int uiQ )

{

unsigned int uiRes = 0;

if( !IsPrimeNumber( uiP ) )

{

printf( "P输入错误，P必须为(0, %d]素数", MAX_PRIME );

return uiRes;

}

if( !IsPrimeNumber( uiQ ) )

{

printf( "Q输入错误，Q必须为(0, %d]素数", MAX_PRIME );

return uiRes;

}

if( uiP == uiQ )

{

printf( "素数P与素数Q相同，很容易根据公钥n开平方得出素数P和Q，这种加密不安全，请更换素数!\n" );

return uiRes;

}

printf( "正在生成私钥d集合......\n" );

uiRes = MakePrivatedKeyd( uiP, uiQ );

return uiRes;

}

//! 程序主函数

int main( int argc, char **argv )

{

unsigned int p , q , d , n , e;//two prime p  q, public key(n, e) , private key(n , d)

CheckParse(argc,  argv );

d=4828; //uid

if(argc == 4)

{

p = atoi( argv[2] );

q = atoi( argv[3] );

MakePrivatedKeyd(p, q);

MakePairkey(p, q, d );

outputkey();

}

else if(argc == 5)

{

char FileName[20];

strcpy(FileName, argv[2]);

int len;

if(argv[1][1] == 'e' )

{

unsigned char *inBuffer=(unsigned char *)malloc(MAX_FILE); //输入缓冲区

int *cw=(int *)malloc(MAX_FILE);

len = FileIn(FileName , inBuffer);

e = atoi(argv[3]);

n = atoi(argv[4]);

rsa_encrypt( n, e, (char *)inBuffer, len, cw );

FileOut( cw, 4*len, DECRYPT_FILE );

}

else if(argv[1][1] == 'd')

{

char *Buffer=(char *)malloc(MAX_FILE); //输入缓冲区

int *cw=(int *)malloc(MAX_FILE);

len = FileIn(FileName, (unsigned char *)cw);

d = atoi(argv[3]);

n = atoi(argv[4]);

rsa_decrypt( n, d, cw, len, Buffer );

FileOut( Buffer, len/4, ENCRYPT_FILE );

}

}

return 0;

}

RSA加密解密算法示例（C语言）

#include stdlib.h

#include stdio.h

#include string.h

#include math.h

#include time.h

#define PRIME_MAX 200   // 生成素数范围

#define EXPONENT_MAX 200 // 生成指数e范围

#define Element_Max 127    // 加密单元的最大值，这里为一个char, 即1Byte

char str_read[100]="hello world !";  // 待加密的原文

int str_encrypt[100];                // 加密后的内容

char str_decrypt[100];              // 解密出来的内容

int str_read_len;                    // str_read 的长度

int prime1, prime2;                  // 随机生成的两个质数

int mod, eular;                      // 模数和欧拉数

int pubKey, priKey;                  // 公钥指数和私钥指数

// 生成随机素数，实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。

int randPrime()

{

int prime, prime2, i;

next:

prime = rand() % PRIME_MAX;   // 随机产生数

if (prime = 1) goto next;      // 不是质数，生成下一个随机数

if (prime == 2 || prime == 3) return prime;

prime2 = prime / 2;              // prime=4, prime2 的平方必定大于 prime , 因此只检查小于等于prime2的数

for (i = 2; i = prime2; i++)   // 判断是否为素数

{

if (i * i prime) return prime;

if (prime % i == 0) goto next;  // 不是质数，生成下一个随机数

}

}

// 欧几里德算法，判断a,b互质

int gcd(int a, int b)

{

int temp;

while (b != 0) {

temp = b;

b = a % b;

a = temp;

}

return a;

}

//生成公钥指数，条件是 1 e 欧拉数，且与欧拉数互质。

int randExponent()

{

int e;

while (1)

{

e = rand() % eular; if (e EXPONENT_MAX) break;

}

while (1)

{

if (gcd(e, eular) == 1) return e; e = (e + 1) % eular; if (e == 0 || e EXPONENT_MAX) e = 2;

}

}

//生成私钥指数

int inverse()

{

int d, x;

while (1)

{

d = rand() % eular;

x = pubKey * d % eular;

if (x == 1)

{

return d;

}

}

}

//加密函数

void jiami()           

{

str_read_len = strlen(str_read);      //从参数表示的地址往后找，找到第一个'\0'，即串尾。计算'\0'至首地址的“距离”，即隔了几个字符，从而得出长度。

printf("密文是：");

for (int i = 0; i str_read_len; i++)

{

int C = 1; int a = str_read[i], b = a % mod;

for (int j = 0; j pubKey; j++) //实现加密

{

C = (C*b) % mod;

}

str_encrypt[i] = C;

printf("%d ", str_encrypt[i]);

}

printf("\n");

}

//解密函数

void jiemi()         

{

int i=0;  for (i = 0; i str_read_len; i++)

{

int C = 1; int a = str_encrypt[i], b=a%mod;

for (int j = 0; j priKey; j++)

{

C = (C * b) % mod;

}

str_decrypt[i] = C;

}

str_decrypt[i] = '\0'; printf("解密文是：%s \n", str_decrypt);

}

int main()

{

srand(time(NULL));

while (1)

{

prime1 = randPrime(); prime2 = randPrime(); printf("随机产生两个素数：prime1 = %d , prime2 = %d ", prime1, prime2);

mod = prime1 * prime2; printf("模数：mod = prime1 * prime2 = %d \n", mod); if (mod Element_Max) break; // 模数要大于每个加密单元的值

}

eular = (prime1 - 1) * (prime2 - 1);  printf("欧拉数：eular=(prime1-1)*(prime2-1) = %d \n", eular);

pubKey = randExponent(); printf("公钥指数：pubKey = %d\n", pubKey);

priKey = inverse(); printf("私钥指数：priKey = %d\n私钥为 (%d, %d)\n", priKey, priKey, mod);

jiami(); jiemi();

return 0;

}

rsa算法c语言实现

程序修改如下：

（主要是你的循环写的不对，输入的字符应该-'0'才能与正常的数字对应）

#includestdio.h

#includemath.h

int

candp(int

a,int

b,int

c)

{int

r=1;

int

s;

int

i=1;

for(i=1;i=b;i++)r=r*a;

printf("%d\

",r);

s=r%c;

printf("%d\

",s);

return

s;}

void

main()

{

int

p,q,e,d,m,n,t,c,r

;

char

s;

printf("please

input

the

p,q:");

scanf("%d%d",p,q);

n=p*q;

t=(p-1)*(q-1);

printf("the

n

is

%12d\

",n);

printf("please

input

the

e:");

scanf("%d",e);

while(e1||en)

//此处修改为while循环

{

printf("e

is

error,please

input

again:");

scanf("%d",e);

}

d=1;

while(((e*d)%t)!=1)

d++;

printf("then

caculate

out

that

the

d

is

%d\

",d);

printf("the

cipher

please

input

1\

");

printf("the

plain

please

input

2\

");

scanf("%c",s);

while((s-'0')!=1(s-'0')!=2)

//消除后面的getchar()

此处增加while循环注意括号内的字符

{scanf("%c",s);}

switch(s-'0')

{

case

1:printf("intput

the

m:");

scanf("%d",m);

c=candp(m,e,n);

printf("the

plain

is

%d\

",c);break;

case

2:printf("input

the

c:");

scanf("%d",c);

m=candp(c,d,n);

printf("the

cipher

is

%8d\

",m);

break;

}

}

如何用C语言实现RSA算法？

上学期交的作业，已通过老师在运行时间上的测试

#include stdio.h

#include stdlib.h

unsigned long prime1,prime2,ee;

unsigned long *kzojld(unsigned long p,unsigned long q) //扩展欧几里得算法求模逆

{

unsigned long i=0,a=1,b=0,c=0,d=1,temp,mid,ni[2];

mid=p;

while(mid!=1)

{

while(pq)

{p=p-q; mid=p;i++;}

a=c*(-1)*i+a;b=d*(-1)*i+b;

temp=a;a=c;c=temp;

temp=b;b=d;d=temp;

temp=p;p=q;q=temp;

i=0;

}

ni[0]=c;ni[1]=d;

return(ni);

}

unsigned long momi(unsigned long a,unsigned long b,unsigned long p) //模幂算法

{

unsigned long c;

c=1;

if(ap) a=a%p;

if(bp) b=b%(p-1);

while(b!=0)

{

while(b%2==0)

{

b=b/2;

a=(a*a)%p;

}

b=b-1;

c=(a*c)%p;

}

return(c);

}

void RSAjiami() //RSA加密函数

{

unsigned long c1,c2;

unsigned long m,n,c;

n=prime1*prime2;

system("cls");

printf("Please input the message：\n");

scanf("%lu",m);getchar();

c=momi(m,ee,n);

printf("The cipher is：%lu",c);

return;

}

void RSAjiemi() //RSA解密函数

{

unsigned long m1,m2,e,d,*ni;

unsigned long c,n,m,o;

o=(prime1-1)*(prime2-1);

n=prime1*prime2;

system("cls");

printf("Please input the cipher：\n");

scanf("%lu",c);getchar();

ni=kzojld(ee,o);

d=ni[0];

m=momi(c,d,n);

printf("The original message is：%lu",m);

return;

}

void main()

{ unsigned long m;

char cho;

printf("Please input the two prime you want to use:\n");

printf("P=");scanf("%lu",prime1);getchar();

printf("Q=");scanf("%lu",prime2);getchar();

printf("E=");scanf("%lu",ee);getchar();

if(prime1prime2)

{m=prime1;prime1=prime2;prime2=m;}

while(1)

{

system("cls");

printf("\t*******RSA密码系统*******\n");

printf("Please select what do you want to do:\n");

printf("1.Encrpt.\n");

printf("2.Decrpt.\n");

printf("3.Exit.\n");

printf("Your choice:");

scanf("%c",cho);getchar();

switch(cho)

{ case '1':RSAjiami();break;

case '2':RSAjiemi();break;

case '3':exit(0);

default:printf("Error input.\n");break;

}

getchar();

}

}

如何用C语言实现RSA算法

RSA算法它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字

命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard

Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。

一、RSA算法 :

首先, 找出三个数, p, q, r,

其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数

p, q, r 这三个数便是 private key

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)

这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了

再来, 计算 n = pq

m, n 这两个数便是 public key

编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a n

如果 a = n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s = n, 通常取 s = 2^t),

则每一位数均小於 n, 然後分段编码

接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 = b n),

b 就是编码後的资料

解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 = c pq),

於是乎, 解码完毕 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)

如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b

他如果要解码的话, 必须想办法得到 r

所以, 他必须先对 n 作质因数分解

要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,

使第三者作因数分解时发生困难

定理

若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),

a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,

则 c == a mod pq

证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:

m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m

(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)

运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的

证明

因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数

因为在 modulo 中是 preserve 乘法的

(x == y mod z and u == v mod z = xu == yv mod z),

所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,

则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) = a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p

a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) = a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q

所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 = pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1

即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq

= c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,

则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)

= a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q

= c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q

= q | c - a

因 p | a

= c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p

= p | c - a

所以, pq | c - a = c == a mod pq

3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上

4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,

则 pq | a

= c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq

= pq | c - a

= c == a mod pq

Q.E.D.

这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)

但我们在做编码解码时, 限制 0 = a n, 0 = c n,

所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能

二、RSA 的安全性

RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解

RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA

的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n

必须选大一些，因具体适用情况而定。

三、RSA的速度

由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。

四、RSA的选择密文攻击

RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装( Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公

钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用

One-Way HashFunction 对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方法。

五、RSA的公共模数攻击

若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足：

r * e1 + s * e2 = 1

假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。

RSA的小指数攻击。 有一种提高 RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有

所提高。但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。

RSA算法是

第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人

们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA

的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能

如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。

RSA的缺点主要有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600

bits

以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目

前，SET( Secure Electronic Transaction )协议中要求CA采用比特长的密钥，其他实体使用比特的密钥。

C语言实现

#include stdio.h

int candp(int a,int b,int c)

{ int r=1;

b=b+1;

while(b!=1)

{

r=r*a;

r=r%c;

b--;

}

printf("%d\n",r);

return r;

}

void main()

{

int p,q,e,d,m,n,t,c,r;

char s;

printf("please input the p,q: ");

scanf("%d%d",p,q);

n=p*q;

printf("the n is %3d\n",n);

t=(p-1)*(q-1);

printf("the t is %3d\n",t);

printf("please input the e: ");

scanf("%d",e);

if(e1||et)

{

printf("e is error,please input again: ");

scanf("%d",e);

}

d=1;

while(((e*d)%t)!=1) d++;

printf("then caculate out that the d is %d\n",d);

printf("the cipher please input 1\n");

printf("the plain please input 2\n");

scanf("%d",r);

switch(r)

{

case 1: printf("input the m: "); /*输入要加密的明文数字*/

scanf("%d",m);

c=candp(m,e,n);

printf("the cipher is %d\n",c);break;

case 2: printf("input the c: "); /*输入要解密的密文数字*/

scanf("%d",c);

m=candp(c,d,n);

printf("the cipher is %d\n",m);break;

}

getch();

}