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Python 为什么不解决四舍五入的“bug”

因为二进制浮点数不能解决这个问题。

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先看一个现象，和 round 无关的：

def show(x):

... """打印一个数，20 位精度"""

... print('{:.20f}'.format(x))

...

show(1.5)

1.50000000000000000000

show(1.25)

1.25000000000000000000

show(1.245)

1.24500000000000010658

show(1.45)

1.44999999999999995559

show(1.415)

1.41500000000000003553

从数学上看，一个既约分数（有理数）n/d 要表示为 B 进制数，如果 d

的所有素因子都整除 B，就说明存在一个整数 k，使得分母 d 整除 B^k——比如 q * d = B^k，于是此时有 n/d = n /

(B^k / q) = nq / B^k，也就是说 n/d 可以使用至多 k 位数的 B 进制小数有限表示。

反之，也容易证明，如果 d 有素因子不能整数 B，那么就不存在上面的 k，也就是说有理数 n/d 不可能由有限位数的 B 进制数表示。——也就是说会出现循环小数。

对于 10 进制数，所有分母只有素因子 2 和 5 的有理数，都能表示为有限小数。比如 1/2 是 0.5，1/4 是 0.25，1/5 是 0.2，3/8 是 0.375，都是有限的。

而对于 2 进制数，分母里面只有素因子 2 的有理数，才能表示为有限小数。所以 1/2 是 0.1，1/4 是 0.01，3/8 是 0.011。但 1/5 就不能用有限二进制数表示了，是个循环小数 0.0011 0011 0011……。

（什么，你问无理数？小学生都知道无理数是无限不循环小数。）

现在：

计算机的浮点数是用小数表示的。浮点数就是科学计数法，指数部分是个整数，尾数部分是个小数。

计算机的存储是有限的，所以只能使用有限位数的小数表示。

计算机硬件通常是用二进制运算的。

具体到 Python 的 float，C/C++ 的 float/double，都是有限长度的、二进制、浮点数。准确地说，是这个：IEEE floating point

现在问题来了。人写程序用十进制数，计算机运行程序用二进制数，怎么办？转换呗。

从概念上说，就是我写：

a(10) = 0.5

计算机读：

a(2) = 0.1

我写：

b(10) = 0.375

计算机读

b(2) = 0.011

可如果我写

c(10) = 0.2

计算机就只能读成了有限位数，比如 12 位：

c(2) = 0.0011 0011 0011（咔嚓切断）

其实这个被截断保留 12 位二制制位的数用十进制表示是 0.199951171875，已经不准了。你说不对呀这个小了，最后一位能不能加上去，让计算机读成

c(2) = 0.0011 0011 0100（进了一位）

这个数用十进制表示则是 0.2001953125，又大了。

——实际的计算机中，python 的 float 是用 64 位浮点数，其中 53 位是尾数部分，误差小得多了，但还是不可能没有。

所以，计算机在把人写的程序转换为内部代码的时候，就必须做十进制到二进制的转换。这个转换就已经不得不带来误差了。当然，像前面说的，不是所有的数都有误差，0.5、3.75、78.625 都不会有误差，但简单的 0.2、3.15 就会有进制转换误差。

所以，在开始计算 round 这个四舍五入的函数之前，在程序刚被读入计算机时，这个变量的值早已经不精确了。round 又能解决什么问题？

话

说回来，round 本身在一些情况下是准确的。比如 0.5、1.5、2.5、3.5 这些数，都能用有限位二进制数表示，它们直接 round

的结果也都是准确的，不过使用的不是四舍五入而是无偏算法（把 0.5 向偶数而不是向上舍入，这里指 Python 3）。round

在另一些情况下又可能是不准确的，因为 Python 的 round

有两个参数，第二个参数表示舍入到第几位，就需要对原数先计算再舍入，就不准确了。

如果让 Python

减慢速度，也在内部用十进制表示和计算，就不会出现进制转换和移位这种来源的舍入误差，此时做舍入运算或输入输出就是精确的了。虽然这不能防止其他计算

（比如除法、三角函数）带来的误差，但在一些场合，比如金融算钱的时候，还是非常有用的。在 Python 里面可以用 decimal

包来使用十进制浮点数，避免输入输出的带来的进制转换误差，按十进制移位时除法带来的误差等。

小结：

误差主要来自输入时十进制转换为计算机内部二进制时，且这个问题在有限精度下不可能解决，也不需要解决。

round 可以准确舍入，但它涉及的移位计算也可能带来其他误差。

Python 的 decimal 包可用于解决这一问题。

如何用Python进行线性回归以及误差分析

线性回归：

设x,y分别为一组数据，代码如下

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

ro=np.polyfit(x,y,deg=1) #deg为拟合的多项式的次数（线性回归就选1）

ry=np.polyval(ro,x) #忘记x和ro哪个在前哪个在后了。。。

print ro #输出的第一个数是斜率k，第二个数是纵截距b

plt.scatter(x,y)

plt.plot(x,ry)

Python科学计算——任意波形拟合

任意波形的生成 (geneartion of arbitrary waveform) 在商业，军事等领域都有着重要的应用，诸如空间光通信 (free-space optics communication)， 高速信号处理 (high-speed signal processing)，雷达 (radar) 等。在任意波形生成后， 如何评估生成的任意波形 成为另外一个重要的话题。

假设有一组实验数据，已知他们之间的函数关系：y=f(x)，通过这些信息，需要确定函数中的一些参数项。例如，f 是一个线型函数 f(x)=k*x+b，那么参数 k 和 b 就是需要确定的值。如果这些参数用 p 表示的话，那么就需要找到一组 p 值使得如下公式中的 S 函数最小：

这种算法被称之为 最小二乘拟合 (least-square fitting)。scipy 中的子函数库 optimize 已经提供实现最小二乘拟合算法的函数 leastsq 。下面是 leastsq 函数导入的方式：

scipy.optimize.leastsq 使用方法

在 Python科学计算——Numpy.genfromtxt 一文中，使用 numpy.genfromtxt 对数字示波器采集的三角波数据导入进行了介绍，今天，就以 4GHz三角波 波形的拟合为案例介绍任意波形的拟合方法。

在 Python科学计算——如何构建模型？ 一文中，讨论了如何构建三角波模型。在标准三角波波形的基础上添加了 横向，纵向的平移和伸缩特征参数 ，最后添加了 噪声参数 模拟了三角波幅度参差不齐的随机性特征。但在波形拟合时，并不是所有的特征参数都要纳入考量，例如，噪声参数应是 波形生成系统 的固有特征，正因为它的存在使得产生的波形存在瑕疵，因此，在进行波形拟合并评估时，不应将噪声参数纳入考量，最终模型如下：

在调用 scipy.optimize.leastsq 函数时，需要构建误差函数：

有时候，为了使图片有更好的效果，需要对数据进行一些处理：

leastsq 调用方式如下：

合理的设置 p0 可以减少程序运行时间，因此，可以在运行一次程序后，用拟合后的相应数据对 p0 进行修正。

在对波形进行拟合后，调用 pylab 对拟合前后的数据进行可视化：

均方根误差 (root mean square error) 是一个很好的评判标准，它是观测值与真值偏差的平方和观测次数n比值的平方根，在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替.方根误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以，均方根误差能够很好地反映出测量的精密度。

RMSE 用程序实现如下：

拟合效果，模型参数输出：

leastsq 函数适用于任何波形的拟合，下面就来介绍一些常用的其他波形：